Kayıt Ol  |  Giriş
NotOku'yu +1'le
Açıköğretim fakültesi (AÖF) e-öğrenme eğitim portalı
24.07.2014
Ders: İstatistik      Ünite 3      6 Mayıs 2012 Ara     

Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar)

Amaç 1

Merkezi eğilim ölçüleri kavramını açıklayabilecek ve istatistik serilerinin ortalamalarını hesaplayabileceksiniz.

Bir ortalama ile nüfus, hız, ışık yılı, ısı ve benzeri gibi ölçülebilen ya da sayılabilen bir olay ya da nesneye ilişkin derlenen veri kümesini temsil edebilen, tek bir değer hesaplanır. Ancak bir kaç tane olan merkezi eğilim ölçülerinin her biri, aynı veri kümesi için farklı bir tablo çizer.

Geniş anlamda ortalama, bir istatistik serisindeki gözlem değerlerinin, etrafında toplanma eğilimi gösterdiği değer olarak tanımlanır.

Konuya açıklık kazandırması açısından aşağıdaki örneği göz önüne alalım. 9 dairelik bir apartmanda oturan ailelerin aylık gelirleri milyon TL olarak aşağıdaki gibi olsun.

520, 580, 670, 700, 700, 700, 860, 1000, 1200

Bu ailelerin normal geliri nedir sorusunun cevabı, muhtemelen gelirlerin ortalamasıdır biçiminde olacaktır. İzleyen kesimlerde örnekte sözü edilen normal gelirin hesaplanmasında kullanılan merkezi eğilim ölçüleri, başka bir anlatımla ortalamalar ayrıntılarıyla gözden geçirilecektir.

Ana çizgileriyle ortalamalar, duyarlı ve duyarlı olmayan ortalamalar olmak üzere, iki ana başlık altında incelenebilir.

Duyarlı Ortalamalar

Duyarlı ortalamalar, serideki tüm gözlem değerlerinden etkilenen ortalamalardır. Bu ünitede duyarlı ortalamalardan sadece aritmetik, geometrik ve kareli ortalamalar ele alınacaktır.

Aritmetik Ortalama

Aritmetik ortalama, bir seriyi oluşturan gözlem değerleri toplamının, gözlem sayısına oranı olarak tanımlanır. Seriyi oluşturan gözlem değerleri x1, x2, …, xn aritmetik ortalama da Aritmetik ortalama  ile gösterilirse tanım uyarınca,

Aritmetik ortalama formülü

olarak hesaplanır.

En kolay hesaplanan ve en çok kullanılan ortalama, aritmetik ortalamadır. Eğer ne tür olduğu belirtilmeden bir ortalamadan söz ediliyorsa, muhtemelen kastedilen aritmetik ortalamadır.

Örnek

Yukarıda verilen 9 dairelik apartmanda oturan ailelerin normal gelirini, aritmetik ortalama kullanarak hesaplayınız.

Çözüm

X, ailelerin aylık gelirlerini göstermek üzere gelirlerden oluşan basit seri aşağıdaki gibi olacaktır :

Ailelerin aylık gelirlerini göstermek üzere gelirlerden oluşan basit seri

Ailelerin toplam geliri 6930 milyon TL olduğundan tanım doğrultusunda, toplam gelir aile sayısına bölünerek ortalama gelir,

Ortalama gelir

olarak hesaplanır.

Örnek

Aşağıda verilen basit serinin aritmetik ortalamasını hesaplayınız.

örnek 2: basit seri

Çözüm

Gözlenen değerlerin toplamı 85 ve gözlem sayısı da 5 olduğundan

örnek 2: aritmetik ortalama

olarak hesaplanır.

Öte yandan frekans serilerinde her gözlem değeri frekansı kadar tekrarlandığından, aritmetik ortalama hesaplanırken gözlem değerleri frekanslarıyla çarpılarak toplanır ve bu sonuç frekanslar toplamına bölünür. Aşağıdaki örneği dikkatle inceleyiniz.

Örnek

Aşağıda verilen frekans serisinin aritmetik ortalamasını hesaplayınız.

örnek 3: frekans serisi

Çözüm

Verilen seri, 2 tane 10, 3 tane 12, 6 tane 15, 4 tane 19 ve 1 tane de 21 değerinden oluşmuştur. 16 gözlem değerinin toplamı,

örnek 3: 16 gözlem değerinin toplamı

olarak elde edilir. Bu toplam, gözlem değeri frekanslar ile çarpılarak aşağıdaki gibi kolaylıkla elde edilebilir.

örnek 3: gözlem değeri x frekanslar

Hesaplanan gözlem değerleri toplamı ( ∑ xf ), frekanslar toplamına ( ∑ x ) bölünerek aritmetik ortalama,

olarak hesaplanır. Örnekten de görülebileceği gibi, frekans serilerinde aritmetik ortalama,

örnek 3: frekans serilerinde aritmetik ortalama

ile hesaplanır.

Örnek

Aşağıda verilen serinin aritmetik ortalamasını hesaplayınız.

örnek 4: seri tablosu

Çözüm

örnek 4: çözüm tablosu

olarak elde edilir. Aritmetik ortalama sınıflandırılmış serilerde de frekans serilerinde olduğu gibi hesaplanır. Ancak dikkat edilmesi gereken, değişken değerleri olarak sınıf orta noktalarının alınmasıdır.

Örnek

Aşağıda verilen serinin aritmetik ortalamasını hesaplayınız.

örnek 5: seri tablosu

Çözüm

örnek 5: çözüm tablosu

olarak elde edilir. Ancak dikkat etmek gerekir ki, sınıflamadaki kayıplar nedeniyle, sınıflandırılmış serilerde aritmetik ortalama, yaklaşık olarak hesaplanabilmektedir.

Aritmetik Ortalamanın Özellikleri

- Aritmetik ortalama duyarlı bir ortalamadır ve serideki aşırı değerlerden doğrudan etkilenir.

Örnek

Aritmetik ortalama aşağıdaki serilerin hangisinde daha temsilidir?

örnek 6: seri tablosu

Çözüm

örnek 6: çözüm tablosu

Görüleceği gibi serideki bir tek değerin değişmesi bile, ortalamayı etkilemektedir. x serisinin ortalaması seriyi oluşturan gözlem değerlerine oldukça yakın, başka bir anlatımla temsil yeteneği daha yüksektir. y ve u serilerinde ise gözlem değerlerindeki aşırı kıymetlerin büyüklüğüne bağlı olarak, ortalamaların temsil yeteneği azalmıştır.

- Gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan cebirsel sapmalarının toplamı sıfırdır. Başka bir anlatımla

Gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan cebirsel sapmalarının toplamı sıfırdırolur.

Bu özellik aşağıdaki örnek üzerinde gösterilmiştir:

Örnek

örnek 7: frekans serisi

Eğer verilen seri bir frekans serisiyse, her gözlem değerinden aritmetik ortalama çıkartılır ve ilgili gözlem değerinin frekansıyla çarpıldıktan sonra, toplam değer hesaplanır. İşlemler aşağıdaki örnek üzerinde gösterilmiştir:

Örnek

örnek 8: seriler ve frekanslar

- Gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan cebirsel sapmalarının kareleri toplamı minimumdur. Bu özellik de aşağıdaki örnek üzerinde gösterilmiştir:

Örnek

örnek 9: x ortalama=30

Verilen X serisinde, aritmetik ortalamadan daha küçük (25) ya da daha büyük bir değer (40) çıkartılırsa sonuçlar,

örnek 9: çözüm tablosu

olarak elde edilir. Aritmetik ortalamadan cebirsel sapmaların kareleri toplamı 1000’dir. Ancak bu ortalamadan küçük (25) ve büyük (40) değerler çıkartıldığında, görüleceği gibi cebirsel sapmaların kareleri toplamı 1000’den büyük çıkmaktadır.

Tartılı Aritmetik Ortalama

Eğer bir seriyi oluşturan gözlem değerleri arasında önem derecesine göre farklar varsa ve bu farklar ortalama hesabında göz önüne alınmak isteniyorsa, böyle durumlarda tartılı ortalama hesaplanır. t, tartıyı Tartılı aritmetik ortalama‘de tartılı aritmetik ortalamayı göstermek üzere, tartılı aritmetik ortalama basit serilerde,

Basit, frekans ve sınıflandırılmış serilerde tartılı aritmetik ortalama

eşitlikleriyle hesaplanır.

Örnek

İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi İşletme Bölümü’ndeki birinci sınıf öğrencisinin güz döneminde aldığı dersler, başarı notları, başarı notlarının katsayıları ve kredi değerleri aşağıda verilmiştir:

örnek 10: veri tablosu

Öğrencinin dönem not ortalamasını katsayı cinsinden hesaplayınız.

Çözüm

örnek 10: çözüm tablosu, 3,26

Tartılı ortalamalarda tartıları, gözlem değerlerini önem derecesine göre farklı kılan değerler oluşturur. Tartı kavramıyla ilgili olarak aşağıdaki örneği dikkatle gözden geçiriniz.

Örnek

Matematik, İstatistik, Fizik, Kimya ve Biyoloji bölümlerinden oluşan bir Fen Fakültesinde, tüm bölümlerin birinci sınıflarına güz döneminde verilen Genel Matematik I dersinin birinci ara sınav sonuçlarına ilişkin bölüm başarı ortalamaları aşağıda verilmiştir:

örnek 11: veri tablosu

Genel Matematik I dersinin fakülte düzeyindeki başarı ortalamasını bulunuz.

Çözüm

örnek 11: çözüm tablosu, 63,06

olarak hesaplanır.

Uygulamada ortalamaların ortalaması, oranların ortalaması ve bazı bileşik indeksler tartılı ortalama kullanılarak hesaplanır.

Geometrik Ortalama

Geometrik ortalama, seriyi oluşturan gözlem değerlerinin çarpımının gözlem değeri sayısına eşit mertebeden kökü olarak tanımlanır. Eğer seriyi oluşturan gözlem değerleri x 1 , x 2 , …, x n ile ve geometrik ortalama da G ile gösterilirse geometrik ortalama,

Geometrik ortalama formülü

eşitliği ile hesaplanır. Ancak seriyi oluşturan gözlem değerlerinin sayısı arttığında, geometrik ortalamayı yukarıdaki formül yardımıyla hesaplamak güçleşir. Böyle durumlarda geometrik ortalama logaritma yardımıyla aşağıdaki eşitlikle hesaplanır.

Logaritma yardımıyla geometrik ortalama formülü

Görüleceği gibi geometrik ortalamanın logaritması, gözlem değerlerinin logaritmalarının aritmetik ortalamasına eşittir.

Örnek

Aşağıdaki basit serinin geometrik ortalamasını hesaplayınız.

örnek 12: basit seri tablosu

Çözüm

örnek 12: geometrik ortalama çözümü

olarak elde edilir.

Frekans serilerinde ve sınıflandırılmış serilerde geometrik ortalama,

Frekans serilerinde ve sınıflandırılmış serilerde geometrik ortalama

eşitliğiyle hesaplanır. Eğer bir seriyi oluşturan gözlem değerleri, bir önceki gözlem değerine bağlı olarak değişiyor ve değişimin hızı belirlenmek isteniyorsa bu durumda geometrik ortalama hesaplanır.

Uygulamada milli gelir, nüfus, bileşik faiz ve bazı bileşik indekslerin hesaplanmasında geometrik ortalama kullanılır.

Kareli Ortalama

Kareli ortalama, seriyi oluşturan gözlem değerlerinin karelerinin toplamının gözlem sayısına oranının karekökü olarak tanımlanır. Kareli ortalama K ile gösterilirse kareli ortalama,

Kareli ortalama formülü

eşitliğiyle hesaplanır.

Örnek

Aşağıda verilen basit serinin kareli ortalamasını hesaplayınız.

örnek 13: basit seri tablosu

Çözüm

örnek 13: çözüm tablosu, serilerde kareli ortalama

Örnek

Aşağıdaki serinin kareli ortalamasını hesaplayınız.

örnek 14: veri tablosu

Çözüm

örnek 14: kareli ortalama çözümü

Görüleceği gibi, kareli ortalama da tüm gözlem değerlerinin büyüklüklerinden etkilenen, duyarlı bir ortalamadır.

Duyarlı Olmayan Ortalamalar

Duyarlı olmayan ortalamalar, seriyi oluşturan tüm gözlem değerlerinin büyüklüklerinden etkilenmeyen ortalamalardır. İzleyen paragraflarda duyarlı olmayan ortalamalardan sadece medyan ve mod ele alınacaktır.

Medyan

Bir istatistik serisinde tam ortaya düşen ve dolayısıyla seriyi iki eşit kısma bölen gözlem değerine medyan denir.

Örnek

Aşağıdaki basit serinin medyanını hesaplayınız.

örnek 15: veri tablosu

Çözüm

Verilen seriyi tam ortadan ikiye bölen gözlem değeri 3. gözlem değeri olan 15’dir.

Med = 15

Görüleceği gibi, seride bu değerden küçük ve büyük olmak üzere 2’şer gözlem değeri bulunmaktadır.
Ünitenin başında verilen 9 ailenin aylık gelirler (milyon TL) serisini tekrar göz önüne alalım.

520, 580, 670, 700, 700, 700, 860, 1000, 1200

Aritmetik ortalama kullanarak aynı apartmanda oturan ailelerin aylık ortalama geliri 770 milyon TL bulunmuştu. Görüleceği gibi, 3 ailenin aylık geliri aritmetik ortalamadan büyük, 6 ailenin de aylık geliri aritmetik ortalamadan küçüktür. Bu grubun aylık gelirinin, gelirler büyüklük sırasına konduğunda tam ortadaki ailenin geliri tarafından temsil edilmesi istenebilir. Bu durumda ortalama gelir, medyan kullanılarak hesaplanmalıdır.

Aylık gelirler serisini tam eşit iki kısma bölen gelir, başka bir anlatımla ilgili serinin medyanı 5. gözlem değeri olan 700 milyon TL’dir. Dikkat edilirse 700 milyon TL’den küçük 3, büyük de 3 gelir düzeyi vardır.

Eğer söz konusu apartmanda 9 değil de 10 aile ikamet ediyor olsaydı, bu durumda orta aile (5,5. aile) söz konusu olmayacaktır. Böyle durumlarda medyan tam ortaya düşen iki gözlem değerinin aritmetik ortalaması alınarak hesaplanır.

Örnek

Aşağıda 8 gözleme ilişkin sonuçlar, gözlem sırasına göre verilmiştir :

2, 7, 3, 8, 7, 3, 4, 10

Gözlem değerlerine ilişkin medyanı hesaplayınız.

Çözüm

Öncelikle gözlenen değerler büyüklük sırasına konmalıdır (Bir istatistik serisi oluşturulmalıdır).

örnek 16: çözüm tablosu

Görüleceği gibi, verilen seride tam ortaya 4 ve 7 olmak üzere 2 değer düşmektedir. Yukarıdaki açıklamalar doğrultusunda medyan, bu iki gözlem değerinin aritmetik ortalaması olacaktır.

örnek 16: çözüm, med=5,5

olarak hesaplanır.

Süreksiz serilerde medyanın hangi sıradaki gözlem değeri olduğu, n serideki gözlem sayısını göstermek üzere,

N serideki gözlem sayısı formülü

ile bulunur. Yukarıdaki 8 gözlemde oluşan örnekte medyan, (8+1)/2=4,5 sıradaki gözlem değeridir. 4 ve 5. gözlem değerleri sırasıyla 4 ve 7 olduğundan medyan bu değerlerin aritmetik ortalaması alınarak hesaplanmıştır. Buna göre 7 gözlem değerinden oluşan bir seride medyan, (7+1)/2=4. gözlem değeri, 100 gözlem değerinden oluşan bir seride ise medyan, (100+1)/2=50,5 gözlem değeri, başka bir anlatımla 50 ve 51. gözlem değerlerinin aritmetik ortalaması alınarak hesaplanacaktır.

Frekans serilerinde de medyanın kaçıncı gözlemin değeri olduğu,

N serideki gözlem sayısı formülü

ile elde edilir. Hangi gözlem değerinin bu sırada yer aldığı, birikimli frekanslar yardımıyla kolaylıkla bulunur. İşlemler aşağıdaki örnekte gösterilmiştir.

Örnek

Aşağıda verilen frekans serisinin medyanını hesaplayınız.

örnek 17: frekans serileri

Çözüm

Hangi sıradaki gözlem değerinin medyan değeri olduğunu bulabilmek için, kolaylık açısından öncelikle -den az ya da -den çok serilerinden birisi oluşturulur. Bu örnekte den az serisinden yararlanılmıştır.

örnek 17: çözüm tablosu

Toplam gözlem sayısı 17 olduğundan medyan değeri,

(n+1)/2=18/2=9. sıradaki gözlem değerine eşit olacaktır. den az serisinden 9.sıradaki gözlem değerinin 15 olduğu bir bakışta görülür. Buradan,

Med = 15 sonucuna ulaşılır.

Sınıflandırılmış serilerde de medyan yine birikimli frekanslar yardımıyla hesaplanır. Ancak, sınıflandırılmış serilerde seriyi iki eşit kısma bölen gözlem değeri bir sınıf içinde yer alacaktır. Medyan değerini içinde bulunduran sınıfa medyan sınıfı adı verilir. Medyan sınıfı, frekanslar toplamının yarısını içinde bulunduran sınıftır. Medyan sınıfı belirlendikten sonra medyan,

l a : medyan sınıfının alt sınırı,
N: frekanslar toplamı ( ∑ f )
f a : medyan sınıfına kadar olan sınıfların frekansları toplamı,
f m : medyan sınıfının frekansı,
h m : medyan sınıfının büyüklüğü, olmak üzere,

Medyan formülü

eşitliğiyle hesaplanır. Ancak dikkat etmek gerekir ki elde edilen sonuç, sınıflama nedeniyle yaklaşık olacaktır. Sınıflandırılmış serilerde medyan sınıfının bulunması ve medyanın hesaplanması aşağıdaki örnek üzerinde gösterilmiştir.

Örnek

Aşağıdaki serinin medyanını hesaplayınız.

örnek 18: veri tablosu

Çözüm

Öncelikle medyan sınıfını bulabilmek için den az serisi oluşturulur.

örnek 18: çözüm tablosu

Bu tür sınıflandırılmış serilerde değişken sürekli olduğundan, medyan N/2=22/2=11. gözlem değeri olacaktır. -den az serisinden 11. gözlem değerinin (18 – 22) sınıfında olduğu kolaylıkla görülür. (18 – 22) sınıfı, medyan sınıfıdır.

Medyan sınıfı belirlendikten sonra,

l a =18,
N/2=11,
f a = 7,
f m = 8,
h m = 4,

değerleri yukarıda verilen eşitlikte yerine konarak,

örnek 18: med=20

olarak elde edilir. ( Bulunan değerin medyan sınıfının içinde kaldığına dikkat ediniz.)

Medyanı grafik yardımıyla da hesaplamak mümkündür. Bunun için -den az ya da den çok eğrilerinden birisinin grafiği çizilir. Sonra dik eksende frekanslar toplamının yarısı belirlenir ve bu noktadan yatay eksene bir paralel çizilir. Bu doğrunun birikimli serinin grafiğini kestiği noktanın apsis değeri medyanı belirler.

Örnek

Aşağıdaki verilen serinin medyanını grafik yardımıyla bulunuz.

örnek 19: veri tablosu

Çözüm

Öncelikle birikimli serilerden birisi, örneğin den az serisi oluşturulur.

örnek 19: çözüm tablosu

Oluşturulan birikimli serinin grafiği çizilir.

Medyanın grafik yardımıyla elde edilmesi

Frekanslar toplamının yarısı 20 olduğundan dik eksende bu noktadan yatay eksene çizilen paralelin -den az eğrisini kestiği noktanın apsisi belirlenir. Belirlenen değer 12 olduğundan verilen serinin medyanı, Med = 12 olarak elde edilir.

Medyan uygulamada, ilgilenilen seride aşırı kıymetlerin varlığı ya da açık (alt ya da üst sınırı belli olmayan) sınıfların bulunması durumunda uygun sonuçlar veren bir merkezi eğilim ölçüsüdür.

Mod

Bir seride en çok tekrarlanan değere mod adı verilir. Tanım uyarınca basit serilerde ve frekans serilerinde mod, en çok tekrarlanan gözlem değerinin belirlenmesi ile kolayca hesaplanır.

Ünitenin başında verilen 9 ailenin aylık gelirler serisini (milyon TL) tekrar göz önüne alalım.

520, 580, 670, 700, 700, 700, 860, 1000, 1200

Bu gelir grubunda ortalama gelirin en çok tekrarlanan gelir düzeyi tarafından temsil edilmesi istenebilir. Bu durumda 9 aileye ilişkin ortalama gelir, tanım uyarınca mod hesaplanarak elde edilir. En çok tekrarlanan gelir düzeyi 700 milyon TL olduğundan yukarıdaki seri için,

Mod = 700 milyon TL olarak hesaplanır.

Dikkat edilecek olursa, seride mod değerinden küçük 3 ve büyük de 3 gelir düzeyi vardır.

Daha önce de değinildiği gibi, mod ve medyan gibi duyarlı olmayan ortalamalar göz önüne alındığında seride aşırı kıymetlerin oluşu, bu ortalamaların sonucunu etkilemeyecektir. Örneğin ilk gelir düzeyi 100 milyon TL ya da son gelir düzeyinin 3.000 milyon TL olması mod ve medyan değerlerini etkilemeyecek ancak duyarlı bir ortalama olan aritmetik ortalamayı doğrudan etkileyecektir. Aşağıdaki örnekleri dikkatle inceleyiniz.

Örnek

Aşağıdaki serinin modunu hesaplayınız.

örnek 20: serinin modu tablosu

Çözüm

Bu seride her gözlem değeri yalnız bir kez tekrarlandığından, serinin modu yoktur.

Örnek

Aşağıda verilen serinin modunu hesaplayınız.

örnek 21: veri tablosu

Çözüm

Bu basit seride en çok tekrarlanan gözlem değeri 12 olduğundan, Mod = 12 olarak hesaplanır.

Örnek

Aşağıdaki frekans serinin modunu hesaplayınız.

örnek 22: veri tablosu

Çözüm

Verilen frekans serisinde 14 değeri 8 kez gözlenmiştir. En çok tekrarlanan gözlem değeri 14 olduğundan serinin modu,

Mod = 14 olarak kolaylıkla elde edilir.

Eğer modu hesaplanmak istenilen seri sınıflandırılmış bir seriyse, en büyük frekans bir gözlem değerine değil bir sınıfa karşı gelecektir. En çok tekrarlanan gözlem değerini içinde bulunduran sınıfa mod sınıfı ya da modal sınıf adı verilir.

Mod sınıfı belirlendikten sonra mod,
l a : mod sınıfının alt sınırı,
Δ 1 : mod sınıfının frekansıyla ondan bir önceki sınıfın frekansları arasındaki mutlak fark,
Δ 2 : mod sınıfının frekansıyla ondan bir sonraki sınıfın frekansları arasındaki mutlak fark,
h: sınıf aralığı, olmak üzere,

mod formülü

eşitliğiyle hesaplanır.

Örnek

Aşağıda verilen serinin modunu hesaplayınız.

örnek 23: veri tablosu

Çözüm

Verilen seride, en büyük frekans 7’dir. Bu nedenle mod sınıfı (18 – 22) olacaktır. Mod sınıfı belirlendikten sonra,

örnek 17: çözüm tablosu

olarak hesaplanır. (Mod değerinin mod sınıfı içinde kaldığına dikkat ediniz.)

Bazen bir seride aynı maksimum frekansa sahip iki ya da daha çok gözlem değeri ya da sınıf bulunabilir. Böyle durumlarda, ilgili seri frekans serisiyse sınıflandırılarak, sınıflandırılmış seriyse farklı bir sınıf aralığı kullanarak yeniden sınıflandırmak suretiyle modun hesaplanması mümkün olur.

Örnek

Aşağıdaki verilen serinin modunu hesaplayınız.

örnek 24: veri tablosu

Çözüm

örnek 24: çözüm tablosu

olarak elde edilir. Buradan da,

örnek 24: çözüm, mod=48,125

olarak hesaplanır.

Sınıflandırılmış serilerde mod, grafik yardımıyla da kolaylıkla bulunabilir. Bunun için önce verilen serinin histogramı çizilir. Histogram üzerinde mod sınıfına ilişkin dikdörtgenin üst köşeleriyle, komşu dikdörtgenlerin üst köşeleri birer doğruyla birleştirilir. Bu doğruların kesişme noktasının apsis değeri, serinin modunu gösterir. Aşağıdaki örnekte modun grafik yardımıyla bulunması gösterilmiştir.

Örnek

Aşağıdaki serinin modunu grafik yardımıyla bulunuz.

örnek 25: veri tablosu

Çözüm

örnek 25: çözüm tablosu

Modun grafik yardımıyla elde edilmesi

Verilen serinin modu grafik yardımıyla, Mod = 34 olarak bulunur.

Mod kıymet olarak serideki gözlem değerlerinin büyük bir kısmına uyduğundan, ortalamalar arasında en temsili olanıdır. Ancak, matematiksel işlemlere uygun bir ortalama değildir. Ayrıca U, J ve ters J serileri için de anlamlı bir ortalama değildir.

Serinin Simetri Durumuna Göre Ortalamalar Arasındaki İlişki

Tek modlu ve eğik serilerde medyan aritmetik ortalama ve mod arasında yer alır. Eğer seri simetrikse, aritmetik ortalama, mod ve medyan birbirine eşit olur. Serinin simetri durumuna göre ortalamalar arasındaki ilişkiler Şekil 3.3.’de gösterilmiştir.

Serinin simetri durumuna göre ortalamalar arasındaki ilişkiler

Sıra Sizde

1.Bir öğrencinin istatistik dersine ilişkin, birinci, ikinci ara sınavlar ve dönem sonu sınavından aldığı notlar aşağıda verilmiştir:

Sıra sizde veri tablosu, sınavlar ve puanlar

Ayrıca, başarı notunu birinci ara sınav % 15, ikinci ara sınav % 25 ve dönem sonu sınavı da % 60 oranında etkilemektedir. Öğrencinin başarı puanını hesaplayınız.

2. Aşağıda verilen seri için uygun ortalamayı hesaplayınız.

Sıra sizde, seri için uygun ortalama tablosu

3. U, J, ve ters J eğrileri için modun neden uygun bir ortalama olamayacağını açıklayınız.

“Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar)” için 1 cevap

  1. Businessman diyor ki:

    Not için çok teşekürler baya yardımcı oldu sınavlar için.

    İstanbul Üniversitesi \\Businessman

Bir Cevap Yazın

*