Kayıt ol  |  Giriş
NotOku'yu +1'le
Ders: İstatistik      Ünite 3      6 Mayıs 2012 Ara     

İstatistiki Değişkenlik Ölçüleri

Amaç 2

Değişkenlik ölçüleri kavramını açıklayabilecek ve istatistik serilerine ilişkin değişkenlik ölçülerini hesaplayabileceksiniz.

İstatistik serilerinin incelenmesinde ve karşılaştırılmasında ortalama gerekli bir ölçüdür. Ancak tek başına yeterli değildir. Gerçekte ortalamaları eşit olan seriler, birbirinden çok farklı olabilir. Aşağıdaki ortalamaları aynı olan x ve y serilerini göz önüne alalım:

Ortalamaları aynı olan x ve y serileri

Görüleceği gibi x serisinde gözlem değerleri y serisine göre ortalamaya daha yakın konumlanmıştır. Bu basit örnekten de görülebileceği gibi, bir ortalama değer bir frekans dağılımını karakterize etmede yetersiz kalmaktadır. Bu nedenle bir frekans dağılımının özellikleri araştırılırken, ortalama değerin yanı sıra, gözlem değerlerinin ortalama etrafındaki yayılışına ilişkin ölçülere de ihtiyaç vardır. Ana çizgileriyle, bir seriyi oluşturan gözlem değerlerinin değer itibariyle birbirinden ya da herhangi bir ortalamadan uzaklıkları, seriyi oluşturan gözlem değerlerinin nasıl yayıldığını, başka bir anlatımla ilgili serinin değişkenliğini ifade eder. Bu ünitede istatistikte sıkça kullanılan belli başlı değişkenlik ölçüleri ele alınacaktır.

Değişim Aralığı

Değişkenlik ölçülerinin en basiti olan değişim aralığı, bir serideki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark olarak tanımlanır. Değişim aralığı kısaca D.A. ile gösterilirse,

D.A. = x max – x min olarak ifade edilir.

Yukarıdaki ortalamaları aynı olan x ve y serilerini göz önüne alınırsa, bu serilere ilişkin değişim aralıkları,
D.A.(x) = 37 – 30 = 7
D.A.(y) = 90 – 2 = 88 olarak hesaplanır.

Değişim aralığı, farklı sayıda gözlem değeri içeren ve farklı ölçü birimlerine göre oluşturulmuş serilerin karşılaştırılmalarında kullanılamaz. Bu değişkenlik ölçüsü, uygulamada eşit sayıda küçük örneklemlerin değerlendirildiği alanlarda, örneğin istatistik kalite kontrolünde sıkça kullanılmaktadır.

Standart Sapma

Standart sapma, bir seriyi oluşturan gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan farklarının kareli ortalaması olarak tanımlanır ve σ (sigma) ile gösterilir. Basit serilerde standart sapma,

Standart sapma formülü

eşitliği yardımıyla hesaplanır.

Örnek

Aşağıda verilen basit serinin standart sapmasını hesaplayınız.

örnek 26: veri tablosu

Çözüm

örnek 26: çözüm tablosu

Frekans serilerinde ve sınıflandırılmış serilerde standart sapma,

Frekans serilerinde ve sınıflandırılmış serilerde standart sapma

ile hesaplanır.

Örnek

Aşağıda verilen frekans serisinin standart sapmasını hesaplayınız.

örnek 27: frekans serisi tablosu

Çözüm

örnek 27: standart sapma çözüm tablosu

Örnek

Aşağıda verilen sınıflandırılmış serisinin standart sapmasını hesaplayınız.

örnek 28: veri tablosu

Çözüm

örnek 28: standart sapma=2,39

olarak elde edilir.

Standart sapma, uygulamada matematiksel işlemlere elverişli olması nedeniyle en çok kullanılan değişkenlik ölçüsüdür. Bazen σ yerine değişkenlik ölçüsü olarak σ 2 kullanılır. σ ‘ye varyans adı verilir. (Standart sapma, varyansın pozitif kareköküdür.) Standart sapmayla ilgili bazı özellikler, aşağıda ispatsız olarak verilmiştir :

– Kareli ortalamanın karesiyle aritmetik ortalamanın karesi arasındaki fark, varyansa eşittir. Başka bir ifadeyle,

Varyans formülü

‘dir.

– Bir seriyi oluşturan gözlem değerlerinin her birine sabit bir sayı eklenir ya da çıkartılırsa, serinin standart sapması değişmez.

– Bir seriyi oluşturan gözlem değerlerinin tümü c gibi bir sayıyla çarpılırsa elde edilen serinin standart sapması, ilk serinin standart sapmasının c katı olur.

Değişim Katsayısı

Buraya kadar ele alınan değişkenlik ölçüleri, mutlak değişkenlik ölçüleridir. Bu nedenle farklı ölçü birimlerine göre oluşturulan serilerin değişkenlikleri, bu ölçülerle karşılaştırılamaz. Ayrıca mutlak değişkenlik ölçüleri, seriyi oluşturan gözlem değerlerinin büyüklüklerinin de etkisi altındadır.

Konuya açıklık kazandırması açısından, aşağıdaki örneği göz önüne alalım.

x ve y serileri tablosu

x serisi için x ortalama = 13 ve σ x = 2.7386
y serisi için y ortalama = 57 ve σ y = 11.9373’tür.

Görüleceği gibi, σ y > σ x ‘dir. Ancak bu sonuç, y serisindeki gözlem değerlerinin x serisine göre daha büyük olmasından kaynaklanmış olabilir.

Eğer, sadece standart sapmalarla bu iki seri karşılaştırılırsa, y serisindeki değişkenliğin x serisine göre daha büyük olduğu ifade edilecektir.

Eğer karşılaştırılan serilerin standart sapmaları ilişkin oldukları serilerin ortalama değerinin bir yüzdesi olarak ifade edilirse, karşılaştırmalarda ölçü birimlerindeki farklılıklar ve gözlem değerlerinin büyüklüğünden oluşan sakıncalar, giderilebilir. Bu yaklaşımla hesaplanan değişkenlik ölçüsüne, değişim katsayısı adı verilir ve kısaca D.K. ile gösterilir.

Değişim katsayısı formülü

olarak formüle edilir. Yukarıda verilen serilere ilişkin değişkenlik, serilerin değişim katsayılarıyla bulunursa,

Değişim katsayısıyla değişkenlik değerleri

olarak elde edilir. Görüleceği gibi, gerçekte X serisindeki değişkenlik, Y serisine göre daha fazladır.

Sıra Sizde

1. Aşağıda verilen serinin, a. Değişim aralığını, b. Standart sapmasını hesaplayınız.

Sıra sizde: serinin değişim aralığını ve standart sapmasını bulun

2. Aşağıda verilen iki seriden hangisinde değişkenliğin daha çok olduğunu belirleyiniz.

Serilerin değişkenliği

3. Aşağıda verilen serinin varyansını hesaplayınız.

Verilerin varyansını bulun