Kayıt ol  |  Giriş
NotOku'yu +1'le
Ders: İstatistik      Ünite 4      30 Mayıs 2012 Ara     

Bileşen (Marjinal) ve Koşullu Olasılıklar

Amaç 4

Bileşen ve bileşik olasılıklar arasındaki farkı açıklayabileceksiniz.

Bir firmada çalışan 100 kişiye, üst düzey yöneticilere çok yüksek ücretler ödenmesini onaylayıp onaylamadıkları sorulmuş ve aşağıdaki tabloda verilen sonuçlar elde edilmiştir:

Çalışanların cevaplarına ilişkin iki yönlü sıralama

Yukarıdaki tabloda 100 çalışan; cinsiyet (erkek ya da kadın) ve görüş (onaylıyor ya da onaylamıyor) özelliklerine (değişken – karakteristik) göre sınıflanmıştır. Bu sınıflamaya (dağılım) çapraz tablo (contingency table) adı verilmekte olup, sayıların bulunduğu kutulara da göze ya da hücre (cell) adı verilmektedir. Dikkat edilecek olursa, tabloda dört gözede iki karakteristiğe ait sıklıklar bulunmaktadır. Örneğin; bu gözelerin ilkinde bulunan 15 çalışan, erkek ve yüksek ücret verilmesini onaylayanlar, olmak üzere iki karakteristiği ifade etmektedir. Yukarıdaki tabloya satır ve sütun toplamlarının eklenmesi sonucunda tablo, aşağıdaki biçime dönüşmektedir.

Çalışanların iki yönlü sınıflaması

Çalışanlar arasından rasgele bir çalışan seçildiğinde, bu çalışan sadece cinsiyet ya da görüş karakteristiklerinden birine göre de sınıflanabilir. Eğer tek karakteristik dikkate alınacak olursa; seçilen çalışan, erkek olabilir, kadın olabilir, onaylıyor olabilir ya da onaylamıyor olabilir. İşte bu dört karakteristik ya da olayın olasılıklarına bileşen (marjinal) olasılık adı verilmektedir. Bu olasılıklara bileşen ya da basit olasılıklar denmesinin nedeni, bu olasılıkların satır ya da sütun toplamlarının genel toplama bölünmesiyle bulunmasıdır. Bileşen Olasılık: Basit olasılık olarak da bilinen bileşen olasılık, herhangi başka olay dikkate alınmaksızın, sadece bir olaya ilişkin olasılıktır. Yukarıdaki Tablo 4.4’e ilişkin dört bileşen olasılık şöyle hesaplanır:

Tablo 4.4'e ilişkin dört bileşen olasılık

Yukarıda belirtildiği gibi, erkek çalışanlara ilişkin (satır) toplam değerlerinin genel toplama bölünmesiyle elde edilen bu değer gibi, öteki üç bileşen olasılık da kolaylıkla bulunur.

Tablo 4.4'e göre onaylayan ve onaylamayanlar

Elde edilen bileşen olasılıkların da eklenmesiyle aşağıdaki tablo oluşturulur:

Bileşen olasılıklı iki yönlü sınıflama

Bu durumda, seçilen kişinin, üst düzey yöneticilere yüksek ücret verilmesini onaylıyor olması olasılığı nedir? Bu olasılık şöyle ifade edilebilir:

Onaylamanın koşullu olasılığı

P (Onaylıyor | Erkek) biçiminde ifade edilen olasılığa, “onaylamanın koşullu olasılığı” denmektedir ve bu gösterim “çalışanın erkek olduğu bilindiğinde (verildiğinde) seçilen çalışanın onaylama olasılığı” olarak okunmaktadır.

Koşullu Olasılık: Koşullu olasılık bir olayın oluştuğunun bilinmesi durumunda diğer olayın olma olasılığıdır. Örneğin A ve B iki olay olmak üzere A olayının koşullu olasılığı,

P (A | B)

biçiminde gösterilir ve B olayı olduğunda A olayının olması olasılığı biçimde okunur.

Örnek

Yukarıda Tablo 4.4’te verilmiş olan 100 çalışana ilişkin sonuçlardan P ( Onaylıyor | Erkek ) koşullu olasılığını bulunuz.

Çözüm

P (Onaylıyor | Erkek) koşullu olasılığında rasgele seçilen bir çalışanın erkek olduğu biliniyor ve bu kişinin onaylama olasılığının bulunması isteniyor. Burada ilk olarak Tablo 4.4’ün birinci satırı ele alınmış, seçilmiş olan bu kişinin de, 60 tane erkek çalışandan biri olduğu düşünülerek, bu satır tekrar yazılmıştır.

örnek 15: çözüm

olarak bulunur. Bu hesaplamadan da görüleceği gibi koşullu olasılık hesaplanırken gerçekleşen olayın değeri (erkek çalışanlar) paydaya, olasılığı bulunmak istenen olayın değeri (onaylayan erkek) paya yazılmaktadır.

Aşağıdaki ağaç diyagramı, koşullu olasılığın daha kolay anlaşılmasını sağlamak amacıyla Örnek 4.15 için hazırlanmıştır:

Şekil 4.6: Ağaç diyagramı

Örnek

Tablo 4.4’te verilen sonuçlardan yararlanarak, rasgele seçilen kişinin üst düzey yöneticilere yüksek ücret verilmesini onayladığı bilindiğine göre, bu kişinin kadın çalışan, olma olasılığını bulunuz.

Çözüm

Burada aranan olasılık,

P ( Kadın | Onaylıyor ) = ? biçimindedir.

Yukarıdaki örneğe benzer olarak, Tablo 4.4’te ilk sütun olan onaylayanlar sütunu dikkate alınmaktadır.

örnek 16: çözüm

olup örneğe ilişkin ağaç diyagramı aşağıdadır.

Şekil 4.7: Ağaç diyagramı

Sıra Sizde

1. Olayların bileşen ve koşullu olasılıkları arasındaki farkı kısaca açıklayınız ve birer örnek veriniz.

2. Bir firmada çalışan 420 kişiye sigara içip içmedikleri ve üniversite mezunu olup olmadıkları sorularak aşağıdaki iki yönlü tablo oluşturulmuştur.

Sigara ve üniversite iki yönlü tablosu

Bu kişilerden rasgele bir tanesi seçildiğinde;
a. Üniversite mezunu olma,
b. Sigara içmiyor olma,
c. Sigara içtiği bilindiğine göre üniversite mezunu olmama,
d. Üniversite mezunu olduğu bilindiğine göre sigara içmiyor olma, olasılıklarını bulunuz.

3. Bir araştırmada 2000 erişkine kürtaja karşı olup olmadıkları sorulmuş ve elde edilen sonuçlar, cinsiyetlere göre aşağıda verilmiştir.

Kürtaja karşı olan ve olmayan bay bayanlar

Bu gruptan rasgele seçilen bir kişinin;
a. Kürtaja karşı olmaması,
b. Kürtaja karşı olması,
c. Kürtaja karşı olmadığı bilindiğine göre kişinin kadın olması,
d. Kişinin erkek olduğu bilindiğine göre kürtaja karşı olma olasılıklarını bulunuz.