Kayıt ol  |  Giriş
NotOku'yu +1'le
Ders: İstatistik      Ünite 4      1 Haziran 2012 Ara     

Bağımsız ve Bağımlı Olaylar

Amaç 6

Bağımsız ve ayrık olaylar arasındaki farkı yazabileceksiniz.

Bağımsız olaylar söz konusu olduğunda, bir olayın ortaya çıkması öteki olayın ortaya çıkma olasılığını değiştirmemektedir.

Bağımsız Olaylar: Eğer bir olayın ortaya çıkması öteki olayın ortaya çıkma olasılığını etkilemiyorsa, bu iki olaya bağımsız olaylar denir. Başka bir anlatımla, A ve B olaylarının bağımsız olabilmeleri için,

P (A | B) = P (A) veya P (B | A) = P (B)

koşulu sağlanmalıdır. Bu koşullardan biri doğruysa ötekinin de doğru olduğu ya da koşullardan biri yanlışsa ötekinin de yanlış olduğu kolaylıkla gösterilebilir. Sonuç olarak bir olayın ortaya çıkması, bir başka olayın ortaya çıkma olasılığını etkiliyorsa, bu olaylara bağımsız olmayan ya da bağımlı olaylar denmekte ve yukarıdaki koşulların ikisi de sağlamamaktadır.

P (A | B) ≠ ­P (A) , P (B | A) ≠­ P (B)

Örnek

Tablo 4.4’te verilmiş olan 100 çalışana ilişkin örnekte; kadın (K) ve onaylıyor (O) olayları tanımlanmış olsun. Bu olaylar bağımsız mıdır?

Çözüm

Eğer K ve O olayları için,

P (K) = P (K | O)

koşulu sağlanıyorsa bu olaylar bağımsız, sağlanmıyorsa bağımlı olaylardır.

Tablo 4.4’te verilenlerden yararlanarak,

P (K) = 40 / 100 = 0.40 ve P (K | O) = 4 / 19 = 0.211

olasılıkları hesaplanabilmektedir. Bu iki olasılık aynı olmadığı için bu olaylar bağımsız olaylar değildir. Bu olayların bağımlı olmalarının nedeniyse üst düzey yöneticilere yüksek ücret verilmesini onaylayan ve onaylamayan erkek çalışanların yüzdelerinin, kadın çalışanlardan farklı olmasıdır. Bu örneğe ilişkin olarak P (O) ve P (O | K) olasılıklarının da aynı olmadığı kolaylıkla görülebilir.

Örnek

Bir kutuda, I. Makinede üretilmiş 60, II. Makinede üretilmiş 40 olmak üzere toplam 100 kaset bulunmaktadır. I. Makinede üretilen 60 kasetin 9 tanesi, tüm kasetlerinde 15 tanesi bozuktur. Bu durumda rasgele seçilen bir kasetin bozuk olması D ve bu kasetin I. Makinede üretilmiş olması A olayını göstermektedir. A ve D olayları bağımsız mıdır?

Çözüm

Soruda verilen bilgilerden,

P (D) = 15 | 100 = 0.15 ve P (D | A) = 9 / 60 = 0.15

olasılıkları bulunur. P (D) = P (D | A) olduğu için, A ve D olayları bağımsız olaylardır.

Bu örnekte, I. ve II. Makinede üretilen bozuk kaset yüzdesi aynı olduğu için, (9 / 60 = 6 / 40) her iki makinenin de bozuk kaset üretme olasılığı 0.15 olduğu için, bu olaylar bağımsız olaylardır.

Gerçekten de soruda verilen bilgiler kullanılarak aşağıdaki tablo oluşturulabilir.

İki yönlü sınıflama tablosu

Bu tablodan yararlanarak da yukarıdaki olasılıklar kolaylıkla bulunabilmekte ve bu olasılıklardan da A ve D olaylarının bağımsız olaylar oldukları görülmektedir.

P (D) = 15 / 100 = 0.15 ve P (D | A) = 9 / 60 = 0.15

Sıra Sizde

1. Kusursuz bir para 3 kez atılmıştır. X, Y ve Z olayları sırasıyla ilk iki atışın yazı gelme, üçüncü atışın tura gelme ve üç atışta iki tura gelme olayları iken,

a. X ve Y olaylarının,
b. Y ve Z olaylarının, bağımsız olaylar olup olmadığını araştırınız.

2. Bir firmada çalışan 420 kişiye sigara içip içmedikleri ve üniversite mezunu olup olmadıkları sorularak aşağıdaki iki yönlü tablo oluşturulmuştur.

Sigara için iki yönlü tablo

“Sigara içme” ve “Üniversite mezunu olmama” olayları bağımsız olaylar mıdır?

3. Bir araştırmada 2000 erişkine kürtaja karşı olup olmadıkları sorulmuş ve elde edilen sonuçlar, cinsiyetlere göre aşağıda verilmiştir.

Kürtaj için iki yönlü tablo

“Kadın” ve “Karşı değil” olayları bağımsız olaylar mıdır?